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Il mostro di Venerdì 23 Marzo 2012
L'Analisi Matematica, i limiti e i lavori di ristrutturazione
 
 
Perchè questo mostro è stato proposto?

A 15anni dall'anniversario della mia laurea, mi sono balenati alla mente i «limiti di funzione» in una particolare circostanza che, apparentemente, nulla aveva a che fare con la Matematica: l'architetto mi stava illustrando le varie tecniche per ricoprire il pavimento con le mattonelle, i problemi, i possibili errori. Ma la Matematica è dappertutto ed io ho la soluzione perfetta ...


Monster's Blog
Scritto da webmonster il 23/03/12
 

Lo scorso 19 marzo fa è stato l'anniversario della mia laurea: sono trascorsi ben quattordici anni (ma non ne sono sicuro) dalla fatidica data da cui è partita l'era dei «dottore». Ebbene, riaffiorano alla mente tanti bei ricordi ed emozioni (che non vi racconterò tranquilli) però un post celebrativo urge.

Qualche giorno fa ascoltavo con attenzione le spiegazioni dell'architetto sui pavimenti: dovendo scegliere delle nuove mattonelle per la nostra casetta, mi illustrava le (infinite) soluzioni. Tra l'altro, evidenziava come - ricoprendo l'intera superficie dell'abitazione con delle piastrelle - si produceva naturalmente uno acarto dovuto al taglio (necessario) di alcune mattonelle.

Questa semplice ed ovvia osservazione - in coincidenza della rincorrenza della laurea - ha riportato a galla il mio amore (sepolto) per i limiti definiti in uno spazio topologico.

Calma, non è nulla di fantascientifico, grigio e noioso: al contrario di quanto si possa pensare, è invece un argomento di un fascino indicibile.
Ora vi chiederete: ma che relazione c'è tra un pavimento e l'Analisi Matematica?
Dunque, provo a spiegarlo in questo post.

 

 

Non me ne vogliano i miei amici e gli insegnanti (bravi) di Matematica, non desidero certo rubargli il «lavoro»: scrivo senza nessuna pretesa didattica nè tantomeno cercherò di essere formale come l'argomento imporrebbe.

L'Analisi Matematica era la mia materia preferita, forse per merito del professor Antonio Zitarosa più filosofo che docente o magari solo per una mia personale inclinazione verso «la teoria della misura». In particolare, i limiti di funzione sono (anzi erano) ll mio pasto preferito.

Durante la mia breve esperienza di professore presso una scuola privata, puntualmente nasceva il dramma: come spiegare il concetto di limite agli studenti della mia classe, dei veri testoni!?!?

Per colpire l'attenzione di quei pseudo-scolari, introducevo l'argomento raccontando una fantasiosa storia traendo spunto dalla favola di Tau il Topologo.

Ragazzi, immaginate una nuvola: è, per definizione, la regina delle figure irregolari. Supponiamo di volerne calcolare l'area, cioè misurare la superficie che occupa in cielo. Un buon metodo è ricoprire l'intera nuvola con una serie di mattonelle quadrate la cue area è nota, ad esempio di un metro quadro. Se risucissimo a foderare la nuvola utilizzando - ad esempio - 50mattonelle potremmo affermare che l'area della nuvola è, più o meno - 50 metri quadri. L'errore che si commette è dovuto all'approssimare l'area della nuvola (di forma irregolare) come somma di aree di figure regolari (le mattonelle quadrate).
La differenza (lo scarto) diminuisce se più piccole saranno le dimensioni delle piastrelle.
Diminuire le dimensioni,però, implica aumentare il numero di elementi da usare.
L'errore, quindi, dipende dal numero di piastrelle a disposizione: esso tende a zero (ma in realtà non è mai nullo) con l'aumentare della quantità di mattonelle.
Ora, pensiamo di usare microscopici granelli di sabbia di area nota (ad esempio, un millimetro quadrato): riusciremmo a rivestire l'intera nuvola (anche nei contorni) con una certa precisione ma serviranno un numero altissimo di chicchi (altissimo ma sempre finito!).
Più alto sarà questo numero, più precisa sarà la nostra misurazione, minore sarà l'errore che si commetterà nell'approssimare l'area della nuvola come sommatoria di arie infinitesimali.
Se - per assurdo - avessimo a disposizione un numero INFINITO di granelli di sabbia, potremmo ricoprire l'intera superficie della nuvola in modo uniforme, senza "buchi" e calcolare precisamente la sua area come somma di infinite aree: tale misurazione sarebbe esatta con errore zero.
Il paradosso è ovvio: nella realtà non abbiamo a disposizione l'infinito, ci dobbiamo accontentare dei "miliardi" che - seppure sembra un valore illimitato - è pur sempre finito, cioè possibile da contare (in teoria).
Il mondo Matematico, a differenza di quanto si immagini, è magico e fantasioso e tutto diventa possibile, anche toccare con mano l'orizzonte. Lo strumento che ci permette di raggiungere il confine tra terra e mare è appunto IL LIMITE.


Ebbene architetto, come vede sono preparato: possiamo iniziare la ristrutturazione, per non commettere errori ed avere uno scarto nullo dobbiamo solo comprare infinite mattonelle.




 
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